คณิตศาสตร์พิลึก (Weird Mathematic / Strange Mathematic)

เรื่องพิลึกแปลก ๆ ของความประหลาดในศาสตร์แห่งการคำนวณ ที่หลายคนอาจนึกไม่ถึง จึงขอเรียกว่า คณิตศาสตร์พิลึก หรือเรียกย่อ ๆ ว่า คณิตพิลึก ทีนี้เรามาลองดูว่า ต่อไปนี้ จริงเท็จประการใด (รวบรวมได้จากอินเตอร์เน็ต)


1)กำหนดให้ a = b ที่ไม่เท่ากับศูนย์
a^2 = ab
เอา b^2 ลบทั้ง 2 ข้างของสมการ
a^2 - b^2 = ab - b^2
จัดรูปใหม่
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
2 = 1
(เป็นไปแล้วว่า มันพิลึก จึงเป็น คณิตพิลึก)

2) sqrt(-1) = sqrt(-1) ; sqrt หมายถึง รากที่สอง
sqrt(-1/1) = sqrt(1/-1)
sqrt(-1) / sqrt(1) = sqrt(1) / sqrt(-1)
sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1)*sqrt(1)
-1 = 1
(คณิตพิลึก)

3) Int( 1/x ) ; Int = อินทิเกรท แบบไม่จำกัดช่วง (Indefinite integral)
Int( 1/x )= Int( 1 * 1/x )
เมื่อใช้ Integration by parts
= x * 1/x - Int( x * ( -1/(x^2) ) )
Int( 1/x )= 1 + Int( 1/x ),
จะได้ 0 = 1.
คณิตศาสตร์พิลึก

4) เรารู้ว่า 1/3 = 0.33333...
1 = 3 * 1/3 = 3 * .33333... = .99999....
อ้าว ไหง 1 กลายเป็นเท่ากับ 0.9999... ไปได้หนอ

5) N = 0.99999...
10N = 9.9999....
เขียนใหม่เป็น
9N+N = 9 + 0.99999...
นั่นคือ จะได้
9N = 9 (all decimal portion is canceled out)
N = 1 ให้เปรียบเทียบกับที่กำหนดตอนแรก N = 0.99999...

6)
1) x = 3.99999...
2) 10 x = 39.99999... multiply both sides by 10.
3) 9 x = 36 subtract 1) from 2).
4) x = 4 divide both sides by 9.
5) 3.99999... = 4 substitute the value of x as given in 1)

7)
x*x = x + x + x + ... + x (x times)
d/dx (x*x) = d/dx ( x + x + x + ... + x )
d/dx (x*x) = d/dx (x) + d/dx (x) + ... d/dx (x)
2x = 1 + 1 + ... + 1
2x = x
2 = 1

8)
a/b + c/d = (ad + bc)/bd,
1 = 0 + 1 = 0/0 + 1/1 = (1*0 + 0*1)/(0*1) = 0/0 = 0
จะได้เป็น 1 = 0

9)
16 - 36 = 25 - 45 [both are -20 ]
4^2 - 2*4*9/2 + (9/2)^2 = 5^2 - 2*5*9/2 + (9/2)^2
[adding (9/2)^2 on both sides, rewriting 36 = 2*4*9/2, etc ]

(4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2
4 - 9/2 = 5 - 9/2 [ take square root of both sides ]
we get : 4 = 5 [adding 9/2 to each side]

หมายเหตุ 1)-9) ได้มาจาก http://www.creatievepuzzels.com/spel/speel1/speel2/raarmath.htm



เมื่อ พิจารณาเลขฐานต่าง ๆ ตั้งแต่ฐาน 2 ถึง ฐาน 36 ของ 2.5(ฐาน10)

Base 2 : 10.1 = 1 x 2^1 + 0 x 2^0 + 1 x 2^-1
Base 3 : 2.11111111111111111111111111111111111111111111111111... = 2 x 3^0 + 1 x 3^-1 + 1 x 3^-2 + 1 x 3^-3 + 1 x 3^-4 + 1 x 3^-5 + 1 x 3^-6 + 1 x 3^-7 + 1 x 3^-8 + 1 x 3^-9 + 1 x 3^-10 + 1 x 3^-11 + 1 x 3^-12 + 1 x 3^-13 + 1 x 3^-14 + 1 x 3^-15 + 1 x 3^-16 + 1 x 3^-17 + 1 x 3^-18 + 1 x 3^-19 + 1 x 3^-20 + 1 x 3^-21 + 1 x 3^-22 + 1 x 3^-23 + 1 x 3^-24 + 1 x 3^-25 + 1 x 3^-26 + 1 x 3^-27 + 1 x 3^-28 + 1 x 3^-29 + 1 x 3^-30 + 1 x 3^-31 + 1 x 3^-32 + 1 x 3^-33 + 1 x 3^-34 + 1 x 3^-35 + 1 x 3^-36 + 1 x 3^-37 + 1 x 3^-38 + 1 x 3^-39 + 1 x 3^-40 + 1 x 3^-41 + 1 x 3^-42 + 1 x 3^-43 + 1 x 3^-44 + 1 x 3^-45 + 1 x 3^-46 + 1 x 3^-47 + 1 x 3^-48 + 1 x 3^-49 + 1 x 3^-50 + ...
Base 4 : 2.2 = 2 x 4^0 + 2 x 4^-1
Base 5 : 2.22222222222222222222222222222222222222222222222222... = 2 x 5^0 + 2 x 5^-1 + 2 x 5^-2 + 2 x 5^-3 + 2 x 5^-4 + 2 x 5^-5 + 2 x 5^-6 + 2 x 5^-7 + 2 x 5^-8 + 2 x 5^-9 + 2 x 5^-10 + 2 x 5^-11 + 2 x 5^-12 + 2 x 5^-13 + 2 x 5^-14 + 2 x 5^-15 + 2 x 5^-16 + 2 x 5^-17 + 2 x 5^-18 + 2 x 5^-19 + 2 x 5^-20 + 2 x 5^-21 + 2 x 5^-22 + 2 x 5^-23 + 2 x 5^-24 + 2 x 5^-25 + 2 x 5^-26 + 2 x 5^-27 + 2 x 5^-28 + 2 x 5^-29 + 2 x 5^-30 + 2 x 5^-31 + 2 x 5^-32 + 2 x 5^-33 + 2 x 5^-34 + 2 x 5^-35 + 2 x 5^-36 + 2 x 5^-37 + 2 x 5^-38 + 2 x 5^-39 + 2 x 5^-40 + 2 x 5^-41 + 2 x 5^-42 + 2 x 5^-43 + 2 x 5^-44 + 2 x 5^-45 + 2 x 5^-46 + 2 x 5^-47 + 2 x 5^-48 + 2 x 5^-49 + 2 x 5^-50 + ...
Base 6 : 2.3 = 2 x 6^0 + 3 x 6^-1
...

Base 28 : 2.E = 2 x 28^0 + 14 x 28^-1
Base 29 : 2.EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE... = 2 x 29^0 + 14 x 29^-1 + 14 x 29^-2 + 14 x 29^-3 + 14 x 29^-4 + 14 x 29^-5 + 14 x 29^-6 + 14 x 29^-7 + 14 x 29^-8 + 14 x 29^-9 + 14 x 29^-10 + 14 x 29^-11 + 14 x 29^-12 + 14 x 29^-13 + 14 x 29^-14 + 14 x 29^-15 + 14 x 29^-16 + 14 x 29^-17 + 14 x 29^-18 + 14 x 29^-19 + 14 x 29^-20 + 14 x 29^-21 + 14 x 29^-22 + 14 x 29^-23 + 14 x 29^-24 + 14 x 29^-25 + 14 x 29^-26 + 14 x 29^-27 + 14 x 29^-28 + 14 x 29^-29 + 14 x 29^-30 + 14 x 29^-31 + 14 x 29^-32 + 14 x 29^-33 + 14 x 29^-34 + 14 x 29^-35 + 14 x 29^-36 + 14 x 29^-37 + 14 x 29^-38 + 14 x 29^-39 + 14 x 29^-40 + 14 x 29^-41 + 14 x 29^-42 + 14 x 29^-43 + 14 x 29^-44 + 14 x 29^-45 + 14 x 29^-46 + 14 x 29^-47 + 14 x 29^-48 + 14 x 29^-49 + 14 x 29^-50 + ...
Base 30 : 2.F = 2 x 30^0 + 15 x 30^-1
Base 31 : 2.FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF... = 2 x 31^0 + 15 x 31^-1 + 15 x 31^-2 + 15 x 31^-3 + 15 x 31^-4 + 15 x 31^-5 + 15 x 31^-6 + 15 x 31^-7 + 15 x 31^-8 + 15 x 31^-9 + 15 x 31^-10 + 15 x 31^-11 + 15 x 31^-12 + 15 x 31^-13 + 15 x 31^-14 + 15 x 31^-15 + 15 x 31^-16 + 15 x 31^-17 + 15 x 31^-18 + 15 x 31^-19 + 15 x 31^-20 + 15 x 31^-21 + 15 x 31^-22 + 15 x 31^-23 + 15 x 31^-24 + 15 x 31^-25 + 15 x 31^-26 + 15 x 31^-27 + 15 x 31^-28 + 15 x 31^-29 + 15 x 31^-30 + 15 x 31^-31 + 15 x 31^-32 + 15 x 31^-33 + 15 x 31^-34 + 15 x 31^-35 + 15 x 31^-36 + 15 x 31^-37 + 15 x 31^-38 + 15 x 31^-39 + 15 x 31^-40 + 15 x 31^-41 + 15 x 31^-42 + 15 x 31^-43 + 15 x 31^-44 + 15 x 31^-45 + 15 x 31^-46 + 15 x 31^-47 + 15 x 31^-48 + 15 x 31^-49 + 15 x 31^-50 + ...
Base 32 : 2.G = 2 x 32^0 + 16 x 32^-1
Base 33 : 2.GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG... = 2 x 33^0 + 16 x 33^-1 + 16 x 33^-2 + 16 x 33^-3 + 16 x 33^-4 + 16 x 33^-5 + 16 x 33^-6 + 16 x 33^-7 + 16 x 33^-8 + 16 x 33^-9 + 16 x 33^-10 + 16 x 33^-11 + 16 x 33^-12 + 16 x 33^-13 + 16 x 33^-14 + 16 x 33^-15 + 16 x 33^-16 + 16 x 33^-17 + 16 x 33^-18 + 16 x 33^-19 + 16 x 33^-20 + 16 x 33^-21 + 16 x 33^-22 + 16 x 33^-23 + 16 x 33^-24 + 16 x 33^-25 + 16 x 33^-26 + 16 x 33^-27 + 16 x 33^-28 + 16 x 33^-29 + 16 x 33^-30 + 16 x 33^-31 + 16 x 33^-32 + 16 x 33^-33 + 16 x 33^-34 + 16 x 33^-35 + 16 x 33^-36 + 16 x 33^-37 + 16 x 33^-38 + 16 x 33^-39 + 16 x 33^-40 + 16 x 33^-41 + 16 x 33^-42 + 16 x 33^-43 + 16 x 33^-44 + 16 x 33^-45 + 16 x 33^-46 + 16 x 33^-47 + 16 x 33^-48 + 16 x 33^-49 + 16 x 33^-50 + ...
Base 34 : 2.H = 2 x 34^0 + 17 x 34^-1
Base 35 : 2.HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH... = 2 x 35^0 + 17 x 35^-1 + 17 x 35^-2 + 17 x 35^-3 + 17 x 35^-4 + 17 x 35^-5 + 17 x 35^-6 + 17 x 35^-7 + 17 x 35^-8 + 17 x 35^-9 + 17 x 35^-10 + 17 x 35^-11 + 17 x 35^-12 + 17 x 35^-13 + 17 x 35^-14 + 17 x 35^-15 + 17 x 35^-16 + 17 x 35^-17 + 17 x 35^-18 + 17 x 35^-19 + 17 x 35^-20 + 17 x 35^-21 + 17 x 35^-22 + 17 x 35^-23 + 17 x 35^-24 + 17 x 35^-25 + 17 x 35^-26 + 17 x 35^-27 + 17 x 35^-28 + 17 x 35^-29 + 17 x 35^-30 + 17 x 35^-31 + 17 x 35^-32 + 17 x 35^-33 + 17 x 35^-34 + 17 x 35^-35 + 17 x 35^-36 + 17 x 35^-37 + 17 x 35^-38 + 17 x 35^-39 + 17 x 35^-40 + 17 x 35^-41 + 17 x 35^-42 + 17 x 35^-43 + 17 x 35^-44 + 17 x 35^-45 + 17 x 35^-46 + 17 x 35^-47 + 17 x 35^-48 + 17 x 35^-49 + 17 x 35^-50 + ...
Base 36 : 2.I = 2 x 36^0 + 18 x 36^-1

ที่มา http://www.vanannies.com/how-to-calculate-numeric-base-from-decimal